ブックタイトルGSIS_2019

概要

GSIS_2019

5 情報基礎科学専攻Department of Computer and Mathematical Sciences■研究キーワード■■KEYWORDS ■教 授My research interest is in knot theory.A knot is a knotted circle embedded in the three-dimensional space as shown in the picture left below.You can see intuitively that the two knots on the right are knotted, and three knots are mutually distinct.However, what would you do if you are asked to prove it mathematically?In knot theory we associate polynomials (possibly with negative powers) to these knots. If thesepolynomials are different, then we conclude that these knots are different. The picture on the rightshows how to compute the celebrated Jones polynomial. By using the recurrence formula we cancompute the Jones polynomials of the three knots on the left, and see that these are indeed different. Weoften replace intuitive objects such as knots with algebraic objects such as polynomials in knot theory.By removing a knot itself from the three-space (imagine that we remove a doughnut) and refilling it inanother way (twist a doughnut and refill it), we can construct a totally new space. We call such a space athree-manifold. Note that this space is locally the same as the three-space that we live in.Research on Knot Theory私の研究課題は結び目理論です．結び目とは，左下の図のようなもつれた輪のことです．右の2 つの結び目がほどけていないこと，また，それぞれ異なった結び目であることは，直感的にわかると思います．では数学的に証明してください，と言われたらどうしますか？結び目理論では，これらの結び目に，ある（負の冪も許した）多項式を対応させて，その多項式が異なっているから結び目も異なる，という議論を行ないます．右下の図は，有名なJones 多項式の計算方法を表わしています．この「漸化式」を使って左下の結び目のJones 多項式を計算すると，すべて異なることがわかります．このように，結び目理論では結び目という直感的な対象を多項式のような代数的な対象に置き換えて研究することがよくあります．また，結び目の入っている3 次元空間から，結び目そのものを引き抜いて（空間の中からドーナツが消えたと考えてください），別の方法で埋め戻す（ドーナツをひねってから元に戻します）ことで，全く違った空間を作ることもできます．このようにしてできた空間は3 次元多様体と呼ばれますが，局所的にはわれわれの住んでいる3 次元空間と同じことに注意してください．結び目理論や3 次元多様体の研究は，近年量子位相幾何学という理論物理的な手法も取り入れてますます発展しています．結び目理論の研究Prof.Hitoshi Murakami村 上 斉knot theory ／ 3-manifold ／ low-dimensional topology ／ quantum topology結び目理論／ 3 次元多様体／低次元位相幾何学／量子位相幾何学Mathematical Structures III情報基礎数理学 IIIThe recursion formula that defines the Jones polynomialV（K） of a knot K77 knot (left), 816 knot (right)(Created by Mathematica)77 結び目（左），816結び目（右）（Mathematica により作成） 結び目 K の Jones多項式 V(K) を定める漸化式