ブックタイトルGSIS_2019

概要

GSIS_2019

システム情報科学専攻Department of System Information Sciences 23■研究キーワード■■KEYWORDS ■With a collaborator at the Dept. of Math. of the Univ. of Florence.フィレンツェ大学数学科で共同研究者とともにStationary isothermic surfaces不変等温面たちThe main purpose is to know geometric properties of solutions of partial differential equations. Sincesolutions are functions, it is natural to want to know their shapes and geometric properties. The currentresearch topics are the following.(1) Stationary level surfaces of solutions of diffusion equations: To know the shapes of graphs offunctions, one may begin by investigating their level surfaces. In particular, an isothermic surface ofthe solution of the heat equation is called stationary if its temperature depends only on time. Theexistence of a stationary isothermic surface is deeply related to the symmetry of the heat conductor.The right helicoid, the circular cylinder, the sphere and the plane are examples of stationaryisothermic surfaces in Euclidean 3-space. The characterization of the circular cylinder, the sphereand the plane by using stationary isothermic surfaces in Euclidean 3-space is almost completed, andsimilar good characterization of the right helicoid is wanted.(2) Problems of partial differential equations on composite materials: Very recently, we considered theheat diffusion over composite media and we got a characterization of planar layers by using eitherstationary isothermic surfaces or surfaces with the constant flow property among three-layered heatconductors. In particular, we are interested in problems dealing with composite materials.(3) Interaction between diffusion and geometry of domain: The shape of the heat conductor is deeplyrelated to the initial heat diffusion. Diffusion equations we consider are the heat equation, the porousmedium type equation, and their related equations.(4) Shapes of solutions of elliptic equations: In general, solutions of elliptic equations describe steadystates after a sufficiently long time. Liouville-type theorems characterize hyperplanes as graphsof entire solutions with some restriction. Overdetermined boundary value problems characterizesome symmetrical domains. Isoperimetric inequalities accompanied by boundary value problemscharacterize shapes of the solutions which give the equalities.(5) The point of view of inverse problems: Partial differential equations appear in models describingnatural phenomena. There are many interesting problems which characterize some geometry insome reasonable way from the point of view of inverse problems.Geometry of solutions of partial differential equations偏微分方程式の解の幾何学的性質を知ることを主な研究目的としています。偏微分方程式の解は関数ですからその形状や幾何学的性質を知りたいと思うのは自然な欲求です。現在の主な研究テーマは次のようです。(1) 拡散方程式の解の不変な等位面：関数のグラフの形状を知るには, まず関数の等位面を調べることから始めるのが自然です。特に, 熱方程式の解のある等温面が不変であるとはその温度が時刻のみに依存することを言います。不変等温面の存在は熱伝導体の対称性と深く関係しています。 常螺旋面,円柱面, 球面および平面は３次元ユークリッド空間内の不変等温面の例になっています。円柱面, 球面および平面について, ３次元空間内の不変等温面による特徴付けがほぼ完成し, 常螺旋面の良い特徴付けが期待されます。(2) 複合媒質上の偏微分方程式の問題：極最近, ３層熱伝導体の中で平面層の不変等温面や不変等熱流面による特徴付けを得ました。複合媒質を扱う問題に特に興味を持っています。(3) 拡散と領域の幾何の相互作用：熱伝導体の形状とその初期熱拡散は深く関係しています。熱方程式,多孔質媒質型方程式やその関連する拡散方程式を扱っています。(4) 楕円型方程式の解の形状：一般に楕円型方程式の解は時間が十分経ったときの定常状態を記述しています。リュービル型定理は超平面をある制限下での全域解のグラフとして特徴付けます。過度境界値問題は対称性をもつ領域を特徴付けます。境界値問題に付随する等周不等式はその等号を実現する解の形状を特徴付けます。(5) 逆問題の視点：偏微分方程式は自然現象を記述するモデルによく現れます。逆問題の視点から意味のある方法で幾何学的対象を特徴付ける興味深い問題が多くあります。偏微分方程式の解の幾何教 授Prof.Shigeru Sakaguchi坂 口 茂theory of partial differential equations ／ geometric properties of solutions ／ diffusion equations ／ elliptic and parabolic equations ／point of view of inverse problems偏微分方程式論／解の幾何学的性質／拡散方程式／楕円型及び放物型方程式／逆問題の視点http://researchmap.jp/sigersak2012415/Mathematical System Analysis IIIシステム情報数理学 III